Hallo, ich studiere Bauingenieurwesen im ersten Semester und habe ein Problem mit meinem Mathebeleg. Der muss am 13.1.06 fertig sein und meine Mitstudenten und ich sind ziemlich ratlos. Also jeder der Mathe als Bauingenieurstudent oder Mathestudent gut kann, den bitte ich um Hilfe.

Ich bedanke mich jetzt schon für jeden Beitrag.

was müsst ihr denn machen? paar informationen darüber wären vielleicht ganz hilfreich..

genau, mein erstes semester bauing is schon ne weile her...

also ich kann ja mal den Beleg dranhängen.....er ist über komlpexe Zahlen und Funktionen.
Ich und meine Leute müssen die Nummer 1 und 5 machen.
Jetzt seid aber ni total entsetzt...wir brauchen echt Hilfe

Hab mir das gerade mal angeschaut und die 1. Aufgabe ist eigentlich ganz gut machbar.

Also mit r*exp(i*phi) beschreibt man ja eine komplexe Zahl und diese Zahl ist in Gaußchen Zahlenebene ein Zeiger auf eine Zahl mit einem gewissen abstand vom nullpunkt dem Radius r und einer gewissen Phase (mmh gerade keine Ahnung ob das in Mathe auch phase hieß, naja so'n bißchen et halt mit im Spiel). Diese Phase ist eigentlich nur der Winkel zwischen diesem Zeiger auf den Punkt und der reelen Achse. Das ist absolut vergleichbar mit der Vektorrechnung aus der Schule. Also dort rein gucken hilft auf jeden Fall. Wenn man jetzt diesen Zeiger mit einer Reelen Zahl multipliziert vergrößert man sozusagen den Radius um das , in unserem Fall, t-fache. Wenn unser t jetzt variabel und unser a fest ist erhalten wir eine Gerade die den Anstieg(Phase) des a hat und durch den Nullpunkt geht.

So zu b.: Wie in der Schule gelernt spiegelt man jetzt einen Punkt einfach nur an einer Geraden. Da gibbet ja genug möglichkeiten (lot vom punkt auf die geraden fällen->im Lot weitergehen und sozusagen auf der anderen Seite der Geraden im selben Abstand den Spiegelpunkt markieren, oder halt mit den x und y koordinaten rechnen). Es kommt darauf an das ihr euch diese Zahlenebene vorstellen könnt. Wie gesagt ist einfach nur was 2-dimensionales)

zu c.: dort verschiebe ich den Anfangspunkt dieser geraden eigentlich nur irgendwo anders hin. Ansonsten alles beim alten.

zu d: WErte halt einsetzen.

Ich schau mir mal noch die 5 an. Ich hoffe das hilft so für den Anfang erstmal...

Aufgabe 5 kann ich mir jetzt auch vorstellen aber ich versuch das mal in ne ordentliche Erklärung umzubasteln...

Also um die Aufgaben verstehen zu können solltet ihr euch zuerst mit den komplexen Zahlen beschäftigen und danach erst die (wie immer ziemlich zwangaft aus dem Boden gestampften und mit null Praxisbezug versehenen, trotzdem jedoch lehrreichen) Aufgaben lösen. Zudem solltet ihr euch mit Geometrie der 11. Klasse (Vor allem Trigonometrie/Winkelfunktionen) und mit Funktionen, genauer mit deren graphischen Darstellung und mit den Zusammenhängen zwischen graphischer Darstellung und Eigenschaften einer Funktion beschäftigen.

Kleiner Abriss von mir:

Bemerkung: Ja liebe Freakshow aus der 1. Reihe der Mathevorlesung, das Zeug weiter unten ist nicht exakt, stimmt stellenweise nicht, ist aber gut genug, ums weniger Mathegegeisterten zu erklären, also Klappe zu und Reiskekse kaufen gehn ihr verdammten Nerds.
Also:
Der Körper der komplexen Zahlen ist eine Menge, deren Elemente zweikomponentige Zahlen der Form a+bi sind. Dabei sind a und b beliebige reelle Zahlen (also aus R bzw. alles, was man so als Zahlen kennt z.B. 1, -10, 0, 1,234545 usw.). Die komplexen Zahlen sind mathematisch gesehn eine Erweiterung der reellen Zahlen. Diese ist notwendig, weil:
Die Menge aller Zahlen kann man graphisch mit einem Zahlenstrahl darstellen. Das ist eine Gerade von links nach rechts. Eine Gerade besteht wie man wissen sollte aus unendlich vielen Punkten und jeder Punkt des Zahlenstrahls bekommt genau eine Zahl zugewiesen. Der ganze Zahlenstrahl stellt die Menge der Reellen Zahlen R dar. Doch wo liegt auf dem Zahlenstrahl die Lösung für die Gleichung "Wurzel aus -1" ? Nach den Regeln und Gesetzen der reellen Zahlen (ja das sind die Körperaxiome von R liebe Geeks) kann man die Gleichung y=sqrt(-1) nicht lösen. (sqrt=Square root = Wurzel) nicht lösen. Es ist eine Erweiterung nötig, jedoch ist auf dem Zahlenstrahl kein Platz mehr, denn jeder Punkt hat ja bereits eindeutig eine Zahl zugeordnet bekommen. Deshalb fügt man einer Zahl noch eine Zweite Komponente hinzu und plazieren die Zahlen über den Punkten des Strahls, was ihn zu einem 2 Dimensionalen Gebilde macht. Man definiert sqrt(-1) = i (die imaginäre Einheit) und bastelt sich aus R einen neuen Körper (eine Menge) genannt C, die Menge (der Körper) der komplexen Zahlen, mit oben beschriebenen Elementen. Die Rechenregeln stehen in jedem Tafelwerk.
Jetzt fragt man sich natürlich, wie stellt man eine solche Zahl mit komplexer Komponente (z.B. 2+3i) graphisch dar? Da mir hier die zeichnerischen Mittel fehlen verweise ich auf euer Tafelwerk und erkläre: Wie oben beschrieben befinden sich die komplexen Zahlen graphisch gesehn über (bzw. unter) den reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Zieht man jetzt eine senkrechte Linie durch den mit 0 gekennzeichneten Punkt des Zahlenstrahls, hat man ein 2 dimensionales Koordinatensystem, dessen X Achse der Zahlenstrahl ist und auf dessen Y Achse die komlexen Komponenten abgetragen werden (fängt also bei 0i an und geht weiter 1i, 2i, 3i...). Nun kann man die komplexen Zahlen abtragen, so wie man früher die Graphen linearer Funktionen gezeichnet hat. Man geht für die Zahl a+bi um a Einheiten nach rechts (bzw. links, wenn a negativ ist) auf der x Achse und um b Einheiten nach oben (bzw. unten) und hat den Punkt der Zahl.
Warum ist das so wichtig? Es ist wichtig, weil man so auf die anderen Darstellungen der komplexen Zahlen kommt. Zeichnet man eine Verbindungslinie vom Punkt (0,0) (der Koordinatenursprung) bis zum Punkt der komplexen Zahl, dann erhält man eine Strecke r und einen Winkel Alpha zwischen x Achse und r. Die komplexe Zahl sei z. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Trigonometrie erhält man:

r = sqrt(a²+b²) (Wenn man a und b als die Katheten und r als die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (a,b) (das ist z) und (a,0) (das ist der Punkt auf der x Achse, direkt unter dem Punkt z, quasi der reelle Anteil der Zahl))
und
alpha = arccos(a/r) = arcsin(b/r) = arctan(b/a) (siehe Tafelwerk, rechtwinkliges Dreieck)

r nennt man den Betrag der komplexen Zahl z und den Winkel Alpha (meistens auch Phi genannt) nennt man das Argument der Zahl z. Damit erhält man mit allerlei schwarzer Magie zwei andere Formen der Komplexen Zahl z=a+bi (Normalform), nämlich die
Polarform: z=r(cos alpha + i*sin alpha) und die
Exponentialform (das ist die in der Aufgabe): z=r*e^(i*alpha) (e..die eulersche Zahl und ^ heißt "hoch", siehe Tafelwerk für e).

Die Formen lassen sich (wie man hoffentlich sieht) ineinander umwandeln (zumindest, wenn man von der Normalform ausgeht, von der Polarform kann kann man nicht eindeutig auf eine Normalform schließen).

Soviel zu den komplexen Zahlen.
Kleiner Abriss zum Zusammenhang zwischen linearer Funktion und deren graphischer Darstellung:
Eine lineare Funktion sieht so aus: y=mx+n
Dabei ist m der sog. Ansteig der Funktion und n ist das Absolutglied. Der Graph einer linearen Funktion ist eine gerade Linie (dafür hätte mich mein Mathelehrer augenblicklich getötet), die u.a. 2 markante Eigenschaften hat:
1. Sie schneidet die y Achse immer im Punkt (0,n), d.h., dass falls n 0 ist und die Funktion z.B. y=mx ist, so verläuft sie durch den Punkt (0,0), den Koordinatenursprung. Eine Veränderung von n bewirkte eine parallele Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y Achse. In der 1. Aufgabe ist n z.B. 0 und die Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung.

2. Aus m kann man einen Winkel Alpha berechnen, der der Anstiegswinkel der Geraden ist (siehe Tafelwerk). Eine Veränderung von m bewirkt, dass die Gerade steiler oder flacher verläuft.

Ab hier besteht Mumpitzgefahr, aber ich habs mal aufgezeichnet und es müsste soweit stimmen, es sei denn, der Ansatz ist falsch:
So, also Ansatz für die erste Aufgabe: z(t)=t*a, sieht wie eine lineare Funktion aus. a = tau*e^(i*phi),
die Exponentialform einer komplexen Zahl. Vergisst man mal, dass a eine komplexe Zahl ist und merkt sich statt dessen, dass a fest ist (d.h. es verändert sich nicht), so erkennt man, dass es sich um eine lineare Funktion durch den Koordinatenursprung handelt. Es ist jetzt schwer zu erklären, dass der Winkel alpha zwischen x Achse und Graphen konstant bleibt, egal wie groß t ist. Die Funktion lautet ja z(t)=t*a.
a ist eine komplexe Zahl der Form a+bi, also z(t)=t*(a+bi)=t*a+t*bi. Das Argument (der Winkel) dieser Zahl bleibt Konstant, denn: Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji.
Und damit: alpha = arctan(j/d). Wegen j=t und d=t*a erhalten wir alpha=arctan(t/t*a). Man kürzt t/t*a mit t und erhält alpha=(1/a), der Winkel ist also nicht von t abhängig. Das heißt, dass der Winkel zwischen dem Graphen g und der x Achse konstant bleibt und zwar ist er das Argument von a. Weil a=tau*e^(i*phi), ist das Argument gleich phi (siehe Darstellungen der komplexen Zahlen). Nun stellt ihr euch einen Punkt unterhalb des Graphen g vor und bezeichnet ihn als w. Die Verbindungslinie vom Koordinatenursprung (0,0) zum Punkt w ist genau der Betrag der komplexen Zahl w. Den Winkel zwischen dem Graphen g und der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt w bezeichnen wir als Beta. Da w gespiegelt werden muss, wissen wir, dass der Punkt ws über dem Graphen g liegen muss und der Winkel zwischen der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt ws und dem Graphen g gleich dem Winkel Beta sein muss und die Verbindungslinie muss genauso lang sein, wie der Betrag von w. Wir haben also:

phi = Winkel zw. g und x Achse.
w = rho*e^(i*psi), laut Aufgabe, siehe griechisches Alphabet) und damit:
Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt w = Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt ws = Betrag der Zahl w = rho und Winkel zwischen X Achse und obiger Strecke = psi.
beta = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach w = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach ws.
Das sollte man vielleicht mal aufzeichnen zum besseren Verständnis.
Man weiß also: ws=rho*e(i*tau), wobei tau der Winkel zwischen der Strecke von (0,0) nach ws und der x Achse ist. Dieser Winkel ist gesucht, um die Zahl ws auszudrücken. Sieht man mal auf die Zeichnung stellt man fest:

phi = psi+beta -> beta = phi - psi
und
tau = phi + beta = 2phi - psi

Und man erhält: ws = rho*e^(i*(2phi-psi))

Alles klar? War doch einfach oder?
Bei d muss man entsprechend einsetzen und ausrechnen, c funktioniert analog zu b, mit dem Unterschied, dass z0 dazu kommt, was den Graphen auf der y Achse verschieben müsste.

Es ist anzuraten, dass ihr meinen Mist nicht einfach übernehmt, sondern versucht ihn zu verstehen. Er könnte nämlich auch falsch sein, da ich bis auf meine graphische Überprüfung anhand eines Beispiels keinen Beweis habe, dass es richtig sein könnte.

stormi.. ich mag dich
sorry fuers OT .. aber ich konnts mir nciht verkneifen

Pssst merry, wenn das der Hagen hört

Hm die 5. Aufgabe ist recht tricky. Sie ist btw. (wie auch die andern Aufgaben) ziemlich schlampig gestellt.
Wir definieren also mal:
z Element C, ist also eine komplexe Zahl.
a und b Element R, also zwei reelle Zahlen, genau wie e (wie ein Doktor der Mathematik auf die Idee kommen kann, eine Unbekannte in einer Aufgabe "e" zu nennen, ist mir echt schleierhaft).

Ich habe lange über die Aufgabe nachgedacht und keine befriedigende Lösung gefunden, jedoch ein paar gute Ansätze:

Da a und b reell sind, haben sie keine komplexe Komponente und werden so auf der x Achse eines 2 dimensionalen Koordinatensystems abgetragen, als die Punkte A(a,0) und B(b,0). Die Gerade g durch die beiden Punkte ist logischerweise die X Achse, bzw. y=0. Eine cassinische Kurve ist im Prinzip ein kreisförmiges/eliptisches Gebilde um zwei Punkte (das sind hier A und B) herum, mit der Eigenschaft, dass der Abstand von A zu einem Punkt Z auf der Elipse multipliziert mit dem Abstand des Punktes B zu Z einen Wert ergibt, der immer konstant bleibt. Das heißt also, dass die Strecke AZ multipliziert mit BZ gleich einer konstanten reellen Zahl ist, das ist hier e.

a) Man kann aus der Tatsache, dass g die X Achse ist schlussfolgern, dass die gesuchten Punkte die selben X Koordinaten haben, wie A oder B, denn sie liegen auf den senkrecht zur X Achse verlaufenden Geraden x1=a und x2=b. Diese Gerade schneiden die Cassinikurve in genau zwei Punkten direkt über bzw. unter A bzw. B.
Zeichnet man sich das ganze auf erkennt man: Die Zahlen z sind wie gesagt komplex und man könnte sie in Normalform darstellen. Die Normalform müsste Betrag(a) + Betrag(z-a)*i lauten. Keine Ahnung, ob das richtig ist, war ein Gedanke von mir.

b) Extrem schlampige Aufgabe, was ist denn der Mittelpunkt von a und b ? Ist aber relativ einfach. Wir haben: e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b)=konstant. Wir wissen, dass die Kurve k einen Punkt besitzt, der diese Gleichung erfüllt und gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke AB ist. Da e immer konstant bleibt, reicht es, wenn wir es für diesen Spezialfall ermitteln. Nochmal: e = Strecke AZ multipliziert mit BZ. Da Z der Mittelpunkt der Strecke AB ist, ist AZ gleichlang wie BZ und damit e =Betrag(z-a)^2.
Bzw. kann man auch folgendes sagen: Man definiert eine positive reelle Zahl m, die den Abstand zwischen A bzw B und dem Mittelpunkt der Strecke AB ausdrückt. (AB hat also die Länge 2m). e ist dann gleich m^2, da ja e=Strecke AZ multipliziert mit BZ=m*m=m^2.

c) Keinen Schimmer. Ich weiß nur. dass die Punkte auf der x Achse liegen und eben genau deren Schnittpunkte mit der Kurve K sind. Evtl. liegt hier der Ansatz.

d) Siehe dazu Wikipedia. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie man die kartesische Darstellung herleitet und daraus die Polarform. Im Prinzip sollte der Ansatz so sein: e=m^2 (wie oben) und e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b). Wenn man a=a+0i, b=b+0i,z=c+di im Hinterkopf behält, sollte es evtl. gelingen, die Formel aus Wikipedia herzuleiten, irgendwo hab ich da aber wohl einen Denkfehler. Daran scheitert also auch der Äquivalenzbeweis.

Es wäre nett, wenn jemand das Ding mit der Lemniskate erklären könnte (Geometrie habe ich in meinem Studium z.B. gar nicht, evtl. hab ich da was übersehen), weil mich das doch sehr interessiert.

Ich hoffe, dass wenigstens ein Teil des Geschriebenen stimmt, solche Aufgaben sind echt nicht mein Steckenpferd

der stormi wieder - herrlich

eine lemniskate wäre zum beispiel die 8 oder das unendlich-zeichen. über den rest grübel ich mal schnell nach..

update1: c) könnte was mit Lagrange zu tun haben..
d) scheint mir erst mal einfach. ich versuch das mal schnell auf'm blatt papier..

update2:
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also ihr lieben......das ist ja schon ganz schön, aber ich bräuchte jemanden der sich mit uns trifft und uns das dann erklären kann...ich nehme auch alle die wollen
aber das jetzt aus dem geschriebenen sofort herauszunehmen ist etwas schwierig (wie ein Mathebuch *lol*)

also wer will der darf!!!
und danke für die schönen langen antworten

ach ja, das a²=strecke(PF1)*strecke(PF2) entspricht nicht dem a aus der gleichung, welches im betrag steht. das hab ich vergessen hinzuzufügen. stell dir das a² was ich dann weitherhin benutzt hab einfach als j² oder so vor.

Danke checkit, auf die Idee einfach mal in die cassinischen Fkt. einzusetzen bin ich nicht gekommen, da ich eigentlich darüber gebrütet habe, wie man auf die cassinische Fkt. kommt. Ok, danke dir, manche Dinge sollte man nicht wissen

@Threadstarter, ihr solltet euch angewöhnen solcherlei Lektüre lesen und verstehen zu können, zugegeben ohne graphische Darstellung ist das etwas schwierig, aber der Text ist imho sehr viel verständlicher, als so manches Mathebuch/-script. Am Anfang ist das immer schwer, man sollte genau lesen und das mehrmals. Es gibt nicht wenige Passagen in meiner Mathe VL, die habe ich 10 oder 20 mal gelesen, nur um zu verstehen, dass es um Mathe geht und nicht um abstrakte Kunst
Also nicht verzagen

da muss ich Stormi recht geben, in allen einigermaßen ausführlichen formelsammlungen steht jede lösung für ein mögliches klausurproblem drin, man muss es erstens nur erkennen (der schwierigste teil) und dann die lösung in der formelsammlung auch lesen können.

ich hab's so versucht zu lernen, dass ich die hefter weggelegt hab und mal versucht hab die komischen zeichen in der formelsammlung zu übersetzen.. ist krass, dass die mathematiker durch 10 zeichen einen ganzen text mit mindestens 20 wörtern ersetzen und von einen otto-normal-studenten dann auch noch verlangen das zu verstehen..

aber wenn man's tut, ist mathe kein problem mehr - steht doch alles im buch!

Das Problem bei deiner Herangehensweise ist das a und b nicht unbedingt reel sind. In den vorherigen aufgaben wurde einmal definiert a und b € C (sorry hab kein anderes "ist Element" zeichen gefunden). e muß aber reel sein. Da wir reele Zahlen miteinander multiplizieren. Aber egal. Wir verschieben unsere Kurve einfach nur ein bißchen in der 2d Gaußebene. Um das ganze aber einfacher zu gestalten, gehen wir nicht von der Gaußebene sondern einer x-beliebigen 2d Ebene aus. Nun können wir einfach das i sozusagen weglassen.

für a. wir stellen die geraden gleichung auf mit dem anstieg (by - ay)/(bx - ax). Eine orthogonale Gerade hat den Anstieg m2=-1/m1. demzufolge ist der Anstieg für unsere orth. gerade genau -(bx-ax)/(by-ay). Um jetzt die kompletten geradengleichungen aufzustellen brauchen wir noch die verschiebung vom nullpunkt (in der schule als n bezeichnet). Dieser ergibt sich nach der geraden gleichung (y=mx+n) als n=y/(m*x) was bei uns soviel heißt wie -(by-ay)/(bx-ax)*(ay/ax) für die gerade durch a und -(by-ay)/(bx-ax)*(by/bx).

Demzufolge haben wir die Geradengleichungen :

Y=-((bx-ax)/(by-ay))*X-(by-ay)/(bx-ax)*(ay/ax) für Punkt a

und

Y=-((bx-ax)/(by-ay))*X-(by-ay)/(bx-ax)*(by/bx) für Punkt b

Diese Y-Gleichungen setzen wir als y - Komponente unserer Cassinischen Gleichungen ein und erhalten die jeweiligen x Komponenten der schnittpunkte. Diese setzen wir wieder in die Cassinischen Gleichungen ein (y-komponente jetzt Variabel) und erhalten die y komponenten der Schnittpunkte.

Sorry ist vielleicht ein bißchen schlecht beschrieben aber versucht es mal nach zu vollziehen.

zu b.
Wenn e zu K gehören soll muß sich die Cassinische Kurve also Kreuzen und zwar genau im Mittelpunkt.
/*Da e die Wurzel des Produktes der Entfernungen vom Punkt Z zu den jeweiligen Kreisen um a und b ist muß e=sqrt(a*b) sein*/ ist falsch

/edit:
e ist das Produkt der Entfernungen von Punkt Z zu den jeweiligen Kreisen um a und b. Daraus folgt: e=|a|*|b|

zu c.
Da die Gerade g durch a und b geht können wir den Ansatz von Aufgabenteil a nehmen. Diese gerade hat den Anstieg (by-ay)/(bx-ax) und ein n von ((bx-ax)/(by-ay))*(ay/ax).

Geradengleichung dafür:

Y=((by-ay)/(bx-ax))*X+((bx-ax)/(by-ay))*(ay/ax)

Wieder eingesetzt in Cassinische Gleichung als y-komponente -> x-Komponente des Schnittpunktes-> eingesetzt -> y-Komponente des Schnittpunktes.(alternativ kann man die x Komponente auch in die Geradengleichung einsetzen um die Rechnung einfacher zu gestalten).

Für Aufgabe d gibt es eine Herleitung im Netz. (hab ich zumindest gefunden bei der Suche nach "Lemniskate" bei Google). einfach die gegebenen Werte einsetzen. Ausmultiplizieren für die kartesische Darstellung und dann x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi) und dann solange rumrechnen bis ihr auf r^2=2*cos(2*phi) kommt.

Have fun

p.s.: Sorry die aufgabe hat mich einiges an Zeit und Nerven gekostet, weil ich sie ziemlich interessant fand und wenn man es dann rausbekommen hat ist man mehr als froh. Daher bitte nicht auf Orthografie, Grammatik oder ähnliches achten.

Bemerkung: ax und bx sowie ay und by sind die x bzw. y - Komponenten der Zahlen a und b € C.

hi......also ich bin ganz schön überrascht, das ihr euch soviel zeit für meinen beleg genommen habt. fühlt euch alle mal gedrückt und wer lust hat uns das persönlich zu erklären (ist am besten), kann sich ja mal melden

bin stolz auf euch

ich bin der meinung b) ist noch immer falsch.

meine überlegung sieht so aus:
e²=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx für den mittelpunkt ist betrag ax = betrag bx sowie betrag ax = 0,5*betrag(a-b) woraus sich durch einsetzen und radizieren e=0,5*|a-b| ergibt.

ihr seid ja alle krank
das mit dem bauingenieur-studium konnte ja nich gut gehn lischen

(naja ok, ich sag lieber nix mehr )

Wie kommst du denn auf e²=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx ? Es muss doch
e=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx gelten. Wie ich schon mal erklärt habe ist e immer konstant gleich für feste a und b. Auch der Mittelpunkt der Strecke ab liegt auf der Kurve und kann daher x sein, woraus man, wie du schon richtig sagtest, betrag ax = betrag bx folgern kann. Wenn man jetzt "betrag bx" ersetzt, erhält man e=betrag der strecke ax * betrag der strecke ax=(betrag der strecke ax)^2.

Für Aufgabe d) Stimmt das und ein Blick auf Wikipedia nach Lemniskate bestätigt die Vermutung zusätzlich, denn bei der Lemniskate ist der Mittelpunkt der Punkt (0,0) und somit e=(betrag der strecke ax)^2=(Betrag(x-a))^2=Betrag(a)^2, was dem Ergebnis aus Wikipedia entspricht.

@Moc: Ich sagte die Aufgabe ist schlampig formuliert. Weder die zu verwendende Zahlenebene, noch die Definitionsbereiche für a und b sind gegeben. Daher kann man sich die Freiheit nehmen und das selber definieren, auf die einfachste Art natürlich. Die Freiheit nahm ich mir bis jetzt immer, wenn jemand zu faul war die Aufgabe richtig zu stellen, gab nie Probleme, sofern du richtig arbeitest.

ich glaube, dass in der aufgabenstellung ein ² fehlt, nämlich bei e. theoretisch hast du recht Stormi, zumindest nach dem was in der aufgabenstellung steht. allerdings ergibt sich ein logisches problem wenn ich mir nun versuche vorzustellen was z sein soll.. nimmt mal als beispiel die lemniskate, dann wäre z meiner meinung nach die stelle auf der gerade, welche die mitte zwischen a und b angibt. das bedeutet, dass für die stecken az und bz der gleiche abstand gelten muss, nämlich laut definition von cassinischen kurven im spezialfall lemniskate e. somit wäre betrag der strecke az mit dem betrag der strecke bz multipliziert e² und nicht e. das macht die aufgabenstellung irgendwie unlogisch. unter d) klappt das, weil e=1 ist und wurzel aus 1 auch 1 ist..

soso aber du mit deinem medienforschung/medienpraxis - kram......hey in techn. mechanik hab ich ni solche probleme, da sind auch die vorlesungen und die übungen top gegliedert......den matheübungsleiter kannste dagegen total in die tonne treten der hat von nix ne ahnung, aber wir müssen es auf anhieb bringen...*protest*

so genug aufgeregt....macht mal alle schön weiter

also langsam verwirrt ihr mich....was ist nu richtig und was ni. können wir das nicht unter mehreren augen besprechen? ist doch viel besser

Genau checkit, das stimmt aber schon in der Aufgabe. Die Lemniskate ist ein Spezialfall. Die anderen Kurven sehen nicht aus wie eine 8. Wenn du mal die anderen Aufgaben ansiehst, dann verstehst du, worums eigentlich geht. In einer is von einem Kreis die rede, das ist wie jeder weiß eine Kurve um einen Punkt im Raum, von dem jeder Punkt der Kurve den gleichen Abstand hat, oder eben r=Betrag(m-z).
Dann is irgendwo was wegen Elipse, das ist eine Kurve um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenaddiert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)+Betrag(p2-z)=r
Die Cassinischen Kurven, sind dann eben Kurven um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenmultipliziert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)*Betrag(p2-z)=r.
Diese Definitionen findet man im Netz oder im Tafelwerk.

ich versteh schon, nur komm ich mit der aufgabenstellung nicht zurecht. Stormis ergebnis ist laut aufgabenstellung richtig, aber ich finde, sie ist nicht exakt formuliert. ich hab mir mal die mühe gemacht und die allgemeine gleichung für cassinische kurven in nullpunktlage hergeleitet (damit ist es egal ob lemniskate, oval oder sonst was), um das was ich meine zu verdeutlichen. ich hoffe man kann es auf dem angefügten bild erkennen..
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c² wäre jetzt laut aufgabenstellung e und mein e² quasi stecke az * strecke bz oder auch (az)² (bzw. (ax)² wenn man für z x einsetzt), wie Stormi geschrieben hat. ist allerdings von der aufgabenstellung irreführend mit variablen bezeichnet und c² durch e zu ersetzen ist mathematisch gesehen nicht wirklich klug..

/edit: und übrigens ist aufgabenteil c) von M_O_C auf falsch. der anstieg der geraden auf der a und b liegt ist 0 und der schnittpunkt mit der y-achse liegt ebenfalls bei 0 wenn man die mitte der strecke zwischen A und B in den koordinatenursprung verschiebt. eine lösung für alle punkte die innerhalb der strecke zwischen A und B diese strecke schneiden sind mit einer berechnung aller nullstellen zu ermitteln. in der aufgabenstellung ist der tipp mit der fallunterscheidung gegeben: wenn lambda=0, dann ist z(lambda)=a, wenn lambda=1, dann ist z(lambda)=b - das müssten die beiden fälle sein, denn damit bewegt sich das lambda im intervall von 0 bis 1. ich würde jetzt für die stellen a und b die nullstellen bestimmen und überlegen, was mit zwischen a und b passiert. ich denke das ist die lösung für c).

@YoCheckIt: Der Anstieg ist nicht gleich null da ich nicht wie die anderen von a und b € R sondern € C ausgegangen. ein zwei aufgaben drüber wurde auch schon a und b eingeführt halt als € C und da das eigentlich alles aufeinander aufbaut; sollte man vorher definierte Variablen nochmals benutzen, gelten, zumindest bei uns, immer die Definitionen von vorher.

das mit dem ob da nun e oder e² da steht ist eigentlich vollkommen egal, da man das halt definieren kann wie man will, aber ich glaub e ist richtig, da abs(z)=sqrt(x²+y²) für z€C. Wenn ich jetzt abs(z1)*abs(z2) hab erhalte ich sqrt(x1²+y1²)*sqrt(x2²+y2²) welches nach einer zwei Dimensionalen Gleichung aussieht. von daher beide seiten Quadrieren und wir erhalten die gegebene Gleichung in den nachschlagewerken (bei Verschiebung auf Nulllage). Daher bin ich am Anfang auch auf Sqrt(|a|*|b|) gekommen. was aber von der Dimension her nicht hinhaut. Also richtige lösung e=|a|*|b|.

/edit: Bin gerade noch auf die Möglichkeit der exponentialdarstellung gekommen, was die Sache, denk ich um einiges erleichtern könnte....
2 Kreise in Gaußebene, jeweils um a und b verschoben, das heißt wir nehmen ein festes r und lassen phi von 0 bis 2pi gehen und addieren für orthogonale geraden einfach pi/2 drauf... Ich glaub das sollt klappen..

Naja mal schauen... mmmh damn, warum diese verdammte Prüfungsvorbereitung immer sein muß....

Have a nice night/day

ich weiß nicht was bei dir der |a| und |b| sein soll, aber wenn du damit keine strecken, sondern die stellen a und b auf der geraden g meinst, dann ist es mathematisch falsch, denn es muss das produkt der jeweiligen differenz zwischen einer der beiden stellen und dem mittelpunkt sein! e = |a| * |b| wäre nur dann richtig, wenn |a| = |b| und damit der mittelpunkt bei x = 0 liegen würde, was er aber nicht zwingend muss. die exakte lösung wurde von Stormi und mir bereits angegeben - glaub uns einfach..
e kann man zwar definieren wie man gerade lust und laune hat, ist aber in der aufgabenstellung nicht sehr zweckmäßig, weil es eine andere dimension als a, b und z hat. würde man diesen drei variablen die einheit meter verpassen, dann müsste e die einheit quadratmeter besitzen, was es laut aufgabenstellung dann auch tut, nur wäre es sinnvoller die variable gleich als e² zu definieren, um bei einer rechnung mit einheiten die korrekte dimension beizubehalten.. das war's was ich mit meiner herleitung zeigen wollte.

beim rest weiß ich leider überhaupt nicht was du meinst..

@nettes Wesen: sorry, jetzt ist hier alles durcheinander.. ich hab mir aber die aufgaben nicht komplett angeschaut, sondern nur die teilaufgaben 5 b) und d), deshalb würde es wahrscheinlich nicht viel bringen wenn ich bei dir vorbeikomme.. zumal du echt versuchen musst da selbst darauf zu kommen. wir könnten dir die lösung zeigen, das wär wie in jeder matheübung, aber um es wirklich zu verstehen, musst du das für dich selbst herleiten können.

Also ich wollte schon immer mal willigen Bauings "Nachhilfe" geben
Ich nehm auch die Reitpeitsche mit und prügel euch den Stoff ordentlich ins Hirn

na das ist doch mal eine einstellung stormi ich hab mal versucht die erste aufgabe von dir zu verstehen und eigentlich hat dies auch gut geklappt, aber da hab ich nochmal ne frage...und zwar hast du geschrieben: "Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji." tja wo hast du denn das b gelassen? das kann man doch eigentlich nicht weglassen..da müsste doch stehen wenn man t*b gleich j setzt t*a + t*bi = d + ij, dann würde es stimmen, oder?

klar muss ich das selber rausbekommen, aber wenn du in den matheübungen das ni richtig erklärt bekommst und dazu die übungsaufgaben teilweise richtig leicht und sinnlos oder total verzwickt und durcheinander sind, aber dann einen für die verhältnisse schwierigen beleg bekommst, sitzt man schon da und ist verzweifelt.....ich weiß ja nicht einmal was eine cassinische kurve ist....hab zwar im hefter geguckt, aber steht ni drin.....also werd ich morgen mal in die slub rennen und mir nen dicken mathewälzer ausleihen...ich weiß ja nicht in welchem semester du bist und was du studierst, aber die semestler aus meinem kurs, die ich wegen dem beleg gefragt habe, waren alle ratlos...eigentlich kann das ja ni sein...

Ich denke wir reden ein bißchen aneinander vorbei. Wir gehen von unterschiedlichen Voraussetzungen aus:

für mich ist e gleich dem Produkt des Abstandes vom Punkt Z zum Punkt A und des Abstandes vom Punkt Z zum Punkt B. (So sind nun mal die Cassischen Gleichungen definiert) und so heißt auch die Aufgabe |Z-A| (für Betrag) was den Abstand von Z zu A beschreibt und |Z-B| was den Abstand von Z zu B beschreibt. Von daher muß e=c in eurer Rechnung sein weil ihr ja c so neu definiert habt....

Zweitens: A und B (also die beiden variablen in der Gleichung) wurden in einer Teilaufgabe vorher schon benutzt und dort definiert als Elemente der Menge der komplexen Zahlen. Daher geh ich davon aus (so ist es halt bei uns im Studiengang und ich glaube nicht, dass das in nem anderen Studiengang anders ist), dass wir diese Definition verwenden sollten.

Aber ich hab mein zeugs natürlich nochmal nachgerechnet und muß sagen das meine Lösung auch falsch ist. Ich hoffe aber dass ich's noch rausbekomme.

ich sag dir das ist völlig normal, ich war an der uni nur 3x in einer matheübung - es war grausam, die aufgaben werden in atemberaubender geschwindigkeit vom semester über dir vorgerechnet, bis auf die stellen die schwierig sind, die werden nämlich mit dem satz: "naja, und dann einfach so weiter machen.." abgetan und wenn man das dann später versteht weiß man, warum derjenige das gesagt hat.. er wusste es nämlich auch nicht.

und ich kann dich beruhigen. in der schule war ich gut in mathe, aber beim studium ist das schon etwas komplizierter, vor allem wenn man wie ich maschinenbau studiert, aber als bau-ing sollte das nicht einfacher sein. bei uns waren auch alle planlos, inklusive mir, aber man sollte sich das dann schon selbst oder in einer kleinen gruppe versuchen beizubringen. dass dir das jemand vorkaut, sodass es auch der letzte versteht kannst du bei der dünnen personaldecke nicht verlangen..

wegen slub und mathewälzer - vergiss es. du wirst vermutlich nix brauchbares zum ausleihen finden, denn eine sächsische landes- und universitätsbibliothek hat anscheinend gerade mal 50 brauchbare mathebücher für 30.000 studenten zum ausleihen.. such am besten im internet nach den sachen die du nicht weißt und schau in der slub ob du vielleicht einen alten bronstein findest, ansonsten kann ich dir noch bartsch empfehlen und zur not muss es halt ein göhler oder ein vetters tun..

ich weiß nicht, ob du schon eine formelsammlung hast, aber ich würde dir den bartsch empfehlen. der ist zwar nicht der billigste, aber das preis-/ leistungsverhältnis stimmt bei dem buch. die billigere variante wäre ein der göhler, den hab ich z.b., aber würde mittlerweile davon abraten, weil er für einen nichtmathematiker leider nicht selbsterklärend ist, auch wenn eigentlich alles was man benötigt drin steht.

@M_O_C:
wir reden nicht aneinander vorbei, was du gerade erklärt hast habe ich gestern auch schon geschrieben (wobei die cassinischen kurven leicht anders definiert sind, nämlich von der dimension her exakt) und das ist längst geklärt. es steht genau so bei uns da.

zu deinem zweiten punkt: die aufgaben sind unabhängig voneinander! es sind 5 aufgaben, die in verschiedenen kombinationen für verschiedene gruppen zusammengestellt worden sind, sie bauen nicht aufeinander auf! aufgabe 5 benutzt auch keine komplexen zahlen, solange das nicht ausdrücklich angegeben ist. es handelt sich bei der aufgabe um eine simple zweidimensionale kurve..

weiterhin musst du dir um 5 b) und d) keine gedanken mehr machen, weil diese aufgabenteile gelöst sind. c) hab ich noch nicht wirklich probiert und a) hab ich mir nicht angesehen, denke aber, dass Stormi a) gelöst hat.

bitte verwirr die leute hier nicht weiter solange du dir nicht sicher bist, dass deine lösung richtig ist!

Begriffsklärung Cassinische Kurve: (ich zitiere von mir weiter oben)

In einer is von einem Kreis die rede, das ist wie jeder weiß eine Kurve um einen Punkt im Raum, von dem jeder Punkt der Kurve den gleichen Abstand hat, oder eben r=Betrag(m-z).
Dann is irgendwo was wegen Elipse, das ist eine Kurve um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenaddiert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)+Betrag(p2-z)=r
Die Cassinischen Kurven, sind dann eben Kurven um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenmultipliziert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)*Betrag(p2-z)=r.

@Moc: Die Unbekannten einer Aufgabe sind ähnlich wie die in einem Unterprogramm eines Programms nur dort gültig und müssen entsprechend definiert werden. Schließlich sollen ja nur Aufgabe 1 und 5 bearbeitet werden. Man könnte z.B. auch auf die Idee kommen, während einer Klausur alle Unbekannten umzudefinieren mit hebräischen Zeichen z.B., das dürfte den Korrektor freuen. Falsch ist es nicht, solange die Lösung richtig ist

hey stormi und was ist nun mit meiner frage wegen: Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji......es ging um das b...ich war der meinung, das man t*b mit j ersetzt...bei dir ist das b verschwunden und ich kann mir nicht erklären wieso.....

Die Formulierung ist unglücklich und eigentlich ist die Substitution nicht nötig, ich hatte sie wegen dem besseren Verständnis eingebaut, das ist öhm... nach hinten losgegangen
Es ging ja darum, dass der Anstieg der Kurve konstant bleibt, was bei linearen Funktionen ja sowieso der Fall ist. Man kann es hier aber auch beweisen:

Die Gerade lautet ja z(t) = t*a, wobei a eine komplexe Zahl ist, also die Form b+ci hat. (Ich hatte im ursprünglichen Post a= von der Form a+bi geschrieben, was unglücklich gewählt wurde, da a ja schon vergeben war.) Also lautet die Funktion z(t)=t*b+t*ci, jetzt ersetzen wir t*b durch d und t*c durch j und erhalten z(t)=d+ji. Das Argument der Zahl d+ji ist genau der Anstiegswinkel dieser Geraden, also (siehe Tafelwerk) Anstiegswinkel phi = arctan (j/d). Wir ersetzen jetzt j und d durch die ursprünglichen Werte und erhalten: phi = arctan (t*c/t*b), wobei wir das t kürzen können (siehe Bruchrechnung 8. Klasse oder so *kleinerseitenhieb*) und wir erhalten phi= arctan (c/b) = Argument von a und damit konstant bei festem a.

Klar?

so stormi jetzt ist es klar...hab die aufgabe auch versucht zu rechnen und da bin ich auf das gekommen was du grade erklärt hast. dies hatte sich aber nicht mit deiner ersten lösung nicht gedeckt und somit war ich verwirrt , aber jetzt bin ich entwirrt...
also bis dahin

Hallo Leutchens!
Ich hab ne ganze Weile euer Schaffen mitverfolgt und wollte mal fragen, ob ihr, falls ihr sonst nix weiter zu tun habt, auch mal was zur Aufgabe 2. erzählen könnt?
Wir haben uns zwar mit der Gruppe hingesetzt und die Köpfe rauchen lassen aber soooo dolle Sachen sind da nich rausgekommen....klar ist, dass e hoch i*t, cos t+sin t entspricht...nur ob man für das b x+iy einsetzen kann und dann so weiterrechnen kann,(bzw. was mit dem "p" los ist...ist das gleich "phi"?), leider muss man das aber wissen um dann die b, c, etc. lösen zu können!
Habt ihr nen Tip?