Hallo, ich studiere Bauingenieurwesen im ersten Semester und habe ein Problem mit meinem Mathebeleg. Der muss am 13.1.06 fertig sein und meine Mitstudenten und ich sind ziemlich ratlos. Also jeder der Mathe als Bauingenieurstudent oder Mathestudent gut kann, den bitte ich um Hilfe.

Ich bedanke mich jetzt schon für jeden Beitrag.

Hm die 5. Aufgabe ist recht tricky. Sie ist btw. (wie auch die andern Aufgaben) ziemlich schlampig gestellt.
Wir definieren also mal:
z Element C, ist also eine komplexe Zahl.
a und b Element R, also zwei reelle Zahlen, genau wie e (wie ein Doktor der Mathematik auf die Idee kommen kann, eine Unbekannte in einer Aufgabe "e" zu nennen, ist mir echt schleierhaft).

Ich habe lange über die Aufgabe nachgedacht und keine befriedigende Lösung gefunden, jedoch ein paar gute Ansätze:

Da a und b reell sind, haben sie keine komplexe Komponente und werden so auf der x Achse eines 2 dimensionalen Koordinatensystems abgetragen, als die Punkte A(a,0) und B(b,0). Die Gerade g durch die beiden Punkte ist logischerweise die X Achse, bzw. y=0. Eine cassinische Kurve ist im Prinzip ein kreisförmiges/eliptisches Gebilde um zwei Punkte (das sind hier A und B) herum, mit der Eigenschaft, dass der Abstand von A zu einem Punkt Z auf der Elipse multipliziert mit dem Abstand des Punktes B zu Z einen Wert ergibt, der immer konstant bleibt. Das heißt also, dass die Strecke AZ multipliziert mit BZ gleich einer konstanten reellen Zahl ist, das ist hier e.

a) Man kann aus der Tatsache, dass g die X Achse ist schlussfolgern, dass die gesuchten Punkte die selben X Koordinaten haben, wie A oder B, denn sie liegen auf den senkrecht zur X Achse verlaufenden Geraden x1=a und x2=b. Diese Gerade schneiden die Cassinikurve in genau zwei Punkten direkt über bzw. unter A bzw. B.
Zeichnet man sich das ganze auf erkennt man: Die Zahlen z sind wie gesagt komplex und man könnte sie in Normalform darstellen. Die Normalform müsste Betrag(a) + Betrag(z-a)*i lauten. Keine Ahnung, ob das richtig ist, war ein Gedanke von mir.

b) Extrem schlampige Aufgabe, was ist denn der Mittelpunkt von a und b ? Ist aber relativ einfach. Wir haben: e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b)=konstant. Wir wissen, dass die Kurve k einen Punkt besitzt, der diese Gleichung erfüllt und gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke AB ist. Da e immer konstant bleibt, reicht es, wenn wir es für diesen Spezialfall ermitteln. Nochmal: e = Strecke AZ multipliziert mit BZ. Da Z der Mittelpunkt der Strecke AB ist, ist AZ gleichlang wie BZ und damit e =Betrag(z-a)^2.
Bzw. kann man auch folgendes sagen: Man definiert eine positive reelle Zahl m, die den Abstand zwischen A bzw B und dem Mittelpunkt der Strecke AB ausdrückt. (AB hat also die Länge 2m). e ist dann gleich m^2, da ja e=Strecke AZ multipliziert mit BZ=m*m=m^2.

c) Keinen Schimmer. Ich weiß nur. dass die Punkte auf der x Achse liegen und eben genau deren Schnittpunkte mit der Kurve K sind. Evtl. liegt hier der Ansatz.

d) Siehe dazu Wikipedia. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie man die kartesische Darstellung herleitet und daraus die Polarform. Im Prinzip sollte der Ansatz so sein: e=m^2 (wie oben) und e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b). Wenn man a=a+0i, b=b+0i,z=c+di im Hinterkopf behält, sollte es evtl. gelingen, die Formel aus Wikipedia herzuleiten, irgendwo hab ich da aber wohl einen Denkfehler. Daran scheitert also auch der Äquivalenzbeweis.

Es wäre nett, wenn jemand das Ding mit der Lemniskate erklären könnte (Geometrie habe ich in meinem Studium z.B. gar nicht, evtl. hab ich da was übersehen), weil mich das doch sehr interessiert.

Ich hoffe, dass wenigstens ein Teil des Geschriebenen stimmt, solche Aufgaben sind echt nicht mein Steckenpferd