Hallo, ich studiere Bauingenieurwesen im ersten Semester und habe ein Problem mit meinem Mathebeleg. Der muss am 13.1.06 fertig sein und meine Mitstudenten und ich sind ziemlich ratlos. Also jeder der Mathe als Bauingenieurstudent oder Mathestudent gut kann, den bitte ich um Hilfe.

Ich bedanke mich jetzt schon für jeden Beitrag.

Also um die Aufgaben verstehen zu können solltet ihr euch zuerst mit den komplexen Zahlen beschäftigen und danach erst die (wie immer ziemlich zwangaft aus dem Boden gestampften und mit null Praxisbezug versehenen, trotzdem jedoch lehrreichen) Aufgaben lösen. Zudem solltet ihr euch mit Geometrie der 11. Klasse (Vor allem Trigonometrie/Winkelfunktionen) und mit Funktionen, genauer mit deren graphischen Darstellung und mit den Zusammenhängen zwischen graphischer Darstellung und Eigenschaften einer Funktion beschäftigen.

Kleiner Abriss von mir:

Bemerkung: Ja liebe Freakshow aus der 1. Reihe der Mathevorlesung, das Zeug weiter unten ist nicht exakt, stimmt stellenweise nicht, ist aber gut genug, ums weniger Mathegegeisterten zu erklären, also Klappe zu und Reiskekse kaufen gehn ihr verdammten Nerds.
Also:
Der Körper der komplexen Zahlen ist eine Menge, deren Elemente zweikomponentige Zahlen der Form a+bi sind. Dabei sind a und b beliebige reelle Zahlen (also aus R bzw. alles, was man so als Zahlen kennt z.B. 1, -10, 0, 1,234545 usw.). Die komplexen Zahlen sind mathematisch gesehn eine Erweiterung der reellen Zahlen. Diese ist notwendig, weil:
Die Menge aller Zahlen kann man graphisch mit einem Zahlenstrahl darstellen. Das ist eine Gerade von links nach rechts. Eine Gerade besteht wie man wissen sollte aus unendlich vielen Punkten und jeder Punkt des Zahlenstrahls bekommt genau eine Zahl zugewiesen. Der ganze Zahlenstrahl stellt die Menge der Reellen Zahlen R dar. Doch wo liegt auf dem Zahlenstrahl die Lösung für die Gleichung "Wurzel aus -1" ? Nach den Regeln und Gesetzen der reellen Zahlen (ja das sind die Körperaxiome von R liebe Geeks) kann man die Gleichung y=sqrt(-1) nicht lösen. (sqrt=Square root = Wurzel) nicht lösen. Es ist eine Erweiterung nötig, jedoch ist auf dem Zahlenstrahl kein Platz mehr, denn jeder Punkt hat ja bereits eindeutig eine Zahl zugeordnet bekommen. Deshalb fügt man einer Zahl noch eine Zweite Komponente hinzu und plazieren die Zahlen über den Punkten des Strahls, was ihn zu einem 2 Dimensionalen Gebilde macht. Man definiert sqrt(-1) = i (die imaginäre Einheit) und bastelt sich aus R einen neuen Körper (eine Menge) genannt C, die Menge (der Körper) der komplexen Zahlen, mit oben beschriebenen Elementen. Die Rechenregeln stehen in jedem Tafelwerk.
Jetzt fragt man sich natürlich, wie stellt man eine solche Zahl mit komplexer Komponente (z.B. 2+3i) graphisch dar? Da mir hier die zeichnerischen Mittel fehlen verweise ich auf euer Tafelwerk und erkläre: Wie oben beschrieben befinden sich die komplexen Zahlen graphisch gesehn über (bzw. unter) den reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Zieht man jetzt eine senkrechte Linie durch den mit 0 gekennzeichneten Punkt des Zahlenstrahls, hat man ein 2 dimensionales Koordinatensystem, dessen X Achse der Zahlenstrahl ist und auf dessen Y Achse die komlexen Komponenten abgetragen werden (fängt also bei 0i an und geht weiter 1i, 2i, 3i...). Nun kann man die komplexen Zahlen abtragen, so wie man früher die Graphen linearer Funktionen gezeichnet hat. Man geht für die Zahl a+bi um a Einheiten nach rechts (bzw. links, wenn a negativ ist) auf der x Achse und um b Einheiten nach oben (bzw. unten) und hat den Punkt der Zahl.
Warum ist das so wichtig? Es ist wichtig, weil man so auf die anderen Darstellungen der komplexen Zahlen kommt. Zeichnet man eine Verbindungslinie vom Punkt (0,0) (der Koordinatenursprung) bis zum Punkt der komplexen Zahl, dann erhält man eine Strecke r und einen Winkel Alpha zwischen x Achse und r. Die komplexe Zahl sei z. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Trigonometrie erhält man:

r = sqrt(a²+b²) (Wenn man a und b als die Katheten und r als die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (a,b) (das ist z) und (a,0) (das ist der Punkt auf der x Achse, direkt unter dem Punkt z, quasi der reelle Anteil der Zahl))
und
alpha = arccos(a/r) = arcsin(b/r) = arctan(b/a) (siehe Tafelwerk, rechtwinkliges Dreieck)

r nennt man den Betrag der komplexen Zahl z und den Winkel Alpha (meistens auch Phi genannt) nennt man das Argument der Zahl z. Damit erhält man mit allerlei schwarzer Magie zwei andere Formen der Komplexen Zahl z=a+bi (Normalform), nämlich die
Polarform: z=r(cos alpha + i*sin alpha) und die
Exponentialform (das ist die in der Aufgabe): z=r*e^(i*alpha) (e..die eulersche Zahl und ^ heißt "hoch", siehe Tafelwerk für e).

Die Formen lassen sich (wie man hoffentlich sieht) ineinander umwandeln (zumindest, wenn man von der Normalform ausgeht, von der Polarform kann kann man nicht eindeutig auf eine Normalform schließen).

Soviel zu den komplexen Zahlen.
Kleiner Abriss zum Zusammenhang zwischen linearer Funktion und deren graphischer Darstellung:
Eine lineare Funktion sieht so aus: y=mx+n
Dabei ist m der sog. Ansteig der Funktion und n ist das Absolutglied. Der Graph einer linearen Funktion ist eine gerade Linie (dafür hätte mich mein Mathelehrer augenblicklich getötet), die u.a. 2 markante Eigenschaften hat:
1. Sie schneidet die y Achse immer im Punkt (0,n), d.h., dass falls n 0 ist und die Funktion z.B. y=mx ist, so verläuft sie durch den Punkt (0,0), den Koordinatenursprung. Eine Veränderung von n bewirkte eine parallele Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y Achse. In der 1. Aufgabe ist n z.B. 0 und die Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung.

2. Aus m kann man einen Winkel Alpha berechnen, der der Anstiegswinkel der Geraden ist (siehe Tafelwerk). Eine Veränderung von m bewirkt, dass die Gerade steiler oder flacher verläuft.

Ab hier besteht Mumpitzgefahr, aber ich habs mal aufgezeichnet und es müsste soweit stimmen, es sei denn, der Ansatz ist falsch:
So, also Ansatz für die erste Aufgabe: z(t)=t*a, sieht wie eine lineare Funktion aus. a = tau*e^(i*phi),
die Exponentialform einer komplexen Zahl. Vergisst man mal, dass a eine komplexe Zahl ist und merkt sich statt dessen, dass a fest ist (d.h. es verändert sich nicht), so erkennt man, dass es sich um eine lineare Funktion durch den Koordinatenursprung handelt. Es ist jetzt schwer zu erklären, dass der Winkel alpha zwischen x Achse und Graphen konstant bleibt, egal wie groß t ist. Die Funktion lautet ja z(t)=t*a.
a ist eine komplexe Zahl der Form a+bi, also z(t)=t*(a+bi)=t*a+t*bi. Das Argument (der Winkel) dieser Zahl bleibt Konstant, denn: Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji.
Und damit: alpha = arctan(j/d). Wegen j=t und d=t*a erhalten wir alpha=arctan(t/t*a). Man kürzt t/t*a mit t und erhält alpha=(1/a), der Winkel ist also nicht von t abhängig. Das heißt, dass der Winkel zwischen dem Graphen g und der x Achse konstant bleibt und zwar ist er das Argument von a. Weil a=tau*e^(i*phi), ist das Argument gleich phi (siehe Darstellungen der komplexen Zahlen). Nun stellt ihr euch einen Punkt unterhalb des Graphen g vor und bezeichnet ihn als w. Die Verbindungslinie vom Koordinatenursprung (0,0) zum Punkt w ist genau der Betrag der komplexen Zahl w. Den Winkel zwischen dem Graphen g und der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt w bezeichnen wir als Beta. Da w gespiegelt werden muss, wissen wir, dass der Punkt ws über dem Graphen g liegen muss und der Winkel zwischen der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt ws und dem Graphen g gleich dem Winkel Beta sein muss und die Verbindungslinie muss genauso lang sein, wie der Betrag von w. Wir haben also:

phi = Winkel zw. g und x Achse.
w = rho*e^(i*psi), laut Aufgabe, siehe griechisches Alphabet) und damit:
Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt w = Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt ws = Betrag der Zahl w = rho und Winkel zwischen X Achse und obiger Strecke = psi.
beta = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach w = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach ws.
Das sollte man vielleicht mal aufzeichnen zum besseren Verständnis.
Man weiß also: ws=rho*e(i*tau), wobei tau der Winkel zwischen der Strecke von (0,0) nach ws und der x Achse ist. Dieser Winkel ist gesucht, um die Zahl ws auszudrücken. Sieht man mal auf die Zeichnung stellt man fest:

phi = psi+beta -> beta = phi - psi
und
tau = phi + beta = 2phi - psi

Und man erhält: ws = rho*e^(i*(2phi-psi))

Alles klar? War doch einfach oder?
Bei d muss man entsprechend einsetzen und ausrechnen, c funktioniert analog zu b, mit dem Unterschied, dass z0 dazu kommt, was den Graphen auf der y Achse verschieben müsste.

Es ist anzuraten, dass ihr meinen Mist nicht einfach übernehmt, sondern versucht ihn zu verstehen. Er könnte nämlich auch falsch sein, da ich bis auf meine graphische Überprüfung anhand eines Beispiels keinen Beweis habe, dass es richtig sein könnte.

Dieser Beitrag wurde von Stormi: 03 Jan 2006, 01:26 bearbeitet

der stormi wieder - herrlich