Hilfe beim Mathebeleg

Das Problem bei deiner Herangehensweise ist das a und b nicht unbedingt reel sind. In den vorherigen aufgaben wurde einmal definiert a und b € C (sorry hab kein anderes "ist Element" zeichen gefunden). e muß aber reel sein. Da wir reele Zahlen miteinander multiplizieren. Aber egal. Wir verschieben unsere Kurve einfach nur ein bißchen in der 2d Gaußebene. Um das ganze aber einfacher zu gestalten, gehen wir nicht von der Gaußebene sondern einer x-beliebigen 2d Ebene aus. Nun können wir einfach das i sozusagen weglassen.

für a. wir stellen die geraden gleichung auf mit dem anstieg (by - ay)/(bx - ax). Eine orthogonale Gerade hat den Anstieg m2=-1/m1. demzufolge ist der Anstieg für unsere orth. gerade genau -(bx-ax)/(by-ay). Um jetzt die kompletten geradengleichungen aufzustellen brauchen wir noch die verschiebung vom nullpunkt (in der schule als n bezeichnet). Dieser ergibt sich nach der geraden gleichung (y=mx+n) als n=y/(m*x) was bei uns soviel heißt wie -(by-ay)/(bx-ax)*(ay/ax) für die gerade durch a und -(by-ay)/(bx-ax)*(by/bx).

Demzufolge haben wir die Geradengleichungen :

Y=-((bx-ax)/(by-ay))*X-(by-ay)/(bx-ax)*(ay/ax) für Punkt a

und

Y=-((bx-ax)/(by-ay))*X-(by-ay)/(bx-ax)*(by/bx) für Punkt b

Diese Y-Gleichungen setzen wir als y - Komponente unserer Cassinischen Gleichungen ein und erhalten die jeweiligen x Komponenten der schnittpunkte. Diese setzen wir wieder in die Cassinischen Gleichungen ein (y-komponente jetzt Variabel) und erhalten die y komponenten der Schnittpunkte.

Sorry ist vielleicht ein bißchen schlecht beschrieben aber versucht es mal nach zu vollziehen.

zu b.
Wenn e zu K gehören soll muß sich die Cassinische Kurve also Kreuzen und zwar genau im Mittelpunkt.
/*Da e die Wurzel des Produktes der Entfernungen vom Punkt Z zu den jeweiligen Kreisen um a und b ist muß e=sqrt(a*b) sein*/ ist falsch

/edit:
e ist das Produkt der Entfernungen von Punkt Z zu den jeweiligen Kreisen um a und b. Daraus folgt: e=|a|*|b|

zu c.
Da die Gerade g durch a und b geht können wir den Ansatz von Aufgabenteil a nehmen. Diese gerade hat den Anstieg (by-ay)/(bx-ax) und ein n von ((bx-ax)/(by-ay))*(ay/ax).

Geradengleichung dafür:

Y=((by-ay)/(bx-ax))*X+((bx-ax)/(by-ay))*(ay/ax)

Wieder eingesetzt in Cassinische Gleichung als y-komponente -> x-Komponente des Schnittpunktes-> eingesetzt -> y-Komponente des Schnittpunktes.(alternativ kann man die x Komponente auch in die Geradengleichung einsetzen um die Rechnung einfacher zu gestalten).

Für Aufgabe d gibt es eine Herleitung im Netz. (hab ich zumindest gefunden bei der Suche nach "Lemniskate" bei Google). einfach die gegebenen Werte einsetzen. Ausmultiplizieren für die kartesische Darstellung und dann x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi) und dann solange rumrechnen bis ihr auf r^2=2*cos(2*phi) kommt.

Have fun

p.s.: Sorry die aufgabe hat mich einiges an Zeit und Nerven gekostet, weil ich sie ziemlich interessant fand und wenn man es dann rausbekommen hat ist man mehr als froh. Daher bitte nicht auf Orthografie, Grammatik oder ähnliches achten.

Bemerkung: ax und bx sowie ay und by sind die x bzw. y - Komponenten der Zahlen a und b € C.

Dieser Beitrag wurde von M_O_C: 04 Jan 2006, 19:48 bearbeitet

hi......also ich bin ganz schön überrascht, das ihr euch soviel zeit für meinen beleg genommen habt. fühlt euch alle mal gedrückt und wer lust hat uns das persönlich zu erklären (ist am besten), kann sich ja mal melden

bin stolz auf euch

ich bin der meinung b) ist noch immer falsch.

meine überlegung sieht so aus:
e²=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx für den mittelpunkt ist betrag ax = betrag bx sowie betrag ax = 0,5*betrag(a-b) woraus sich durch einsetzen und radizieren e=0,5*|a-b| ergibt.

ihr seid ja alle krank
das mit dem bauingenieur-studium konnte ja nich gut gehn lischen

(naja ok, ich sag lieber nix mehr )

Wie kommst du denn auf e²=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx ? Es muss doch
e=betrag der strecke ax * betrag der strecke bx gelten. Wie ich schon mal erklärt habe ist e immer konstant gleich für feste a und b. Auch der Mittelpunkt der Strecke ab liegt auf der Kurve und kann daher x sein, woraus man, wie du schon richtig sagtest, betrag ax = betrag bx folgern kann. Wenn man jetzt "betrag bx" ersetzt, erhält man e=betrag der strecke ax * betrag der strecke ax=(betrag der strecke ax)^2.

Für Aufgabe d) Stimmt das und ein Blick auf Wikipedia nach Lemniskate bestätigt die Vermutung zusätzlich, denn bei der Lemniskate ist der Mittelpunkt der Punkt (0,0) und somit e=(betrag der strecke ax)^2=(Betrag(x-a))^2=Betrag(a)^2, was dem Ergebnis aus Wikipedia entspricht.

@Moc: Ich sagte die Aufgabe ist schlampig formuliert. Weder die zu verwendende Zahlenebene, noch die Definitionsbereiche für a und b sind gegeben. Daher kann man sich die Freiheit nehmen und das selber definieren, auf die einfachste Art natürlich. Die Freiheit nahm ich mir bis jetzt immer, wenn jemand zu faul war die Aufgabe richtig zu stellen, gab nie Probleme, sofern du richtig arbeitest.

ich glaube, dass in der aufgabenstellung ein ² fehlt, nämlich bei e. theoretisch hast du recht Stormi, zumindest nach dem was in der aufgabenstellung steht. allerdings ergibt sich ein logisches problem wenn ich mir nun versuche vorzustellen was z sein soll.. nimmt mal als beispiel die lemniskate, dann wäre z meiner meinung nach die stelle auf der gerade, welche die mitte zwischen a und b angibt. das bedeutet, dass für die stecken az und bz der gleiche abstand gelten muss, nämlich laut definition von cassinischen kurven im spezialfall lemniskate e. somit wäre betrag der strecke az mit dem betrag der strecke bz multipliziert e² und nicht e. das macht die aufgabenstellung irgendwie unlogisch. unter d) klappt das, weil e=1 ist und wurzel aus 1 auch 1 ist..

soso aber du mit deinem medienforschung/medienpraxis - kram......hey in techn. mechanik hab ich ni solche probleme, da sind auch die vorlesungen und die übungen top gegliedert......den matheübungsleiter kannste dagegen total in die tonne treten der hat von nix ne ahnung, aber wir müssen es auf anhieb bringen...*protest*

so genug aufgeregt....macht mal alle schön weiter

also langsam verwirrt ihr mich....was ist nu richtig und was ni. können wir das nicht unter mehreren augen besprechen? ist doch viel besser

Genau checkit, das stimmt aber schon in der Aufgabe. Die Lemniskate ist ein Spezialfall. Die anderen Kurven sehen nicht aus wie eine 8. Wenn du mal die anderen Aufgaben ansiehst, dann verstehst du, worums eigentlich geht. In einer is von einem Kreis die rede, das ist wie jeder weiß eine Kurve um einen Punkt im Raum, von dem jeder Punkt der Kurve den gleichen Abstand hat, oder eben r=Betrag(m-z).
Dann is irgendwo was wegen Elipse, das ist eine Kurve um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenaddiert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)+Betrag(p2-z)=r
Die Cassinischen Kurven, sind dann eben Kurven um 2 Punkte, deren Abstände zu den Kurvenpunkten zusammenmultipliziert immer gleich sind, oder eben: Betrag(p1-z)*Betrag(p2-z)=r.
Diese Definitionen findet man im Netz oder im Tafelwerk.

ich versteh schon, nur komm ich mit der aufgabenstellung nicht zurecht. Stormis ergebnis ist laut aufgabenstellung richtig, aber ich finde, sie ist nicht exakt formuliert. ich hab mir mal die mühe gemacht und die allgemeine gleichung für cassinische kurven in nullpunktlage hergeleitet (damit ist es egal ob lemniskate, oval oder sonst was), um das was ich meine zu verdeutlichen. ich hoffe man kann es auf dem angefügten bild erkennen..


c² wäre jetzt laut aufgabenstellung e und mein e² quasi stecke az * strecke bz oder auch (az)² (bzw. (ax)² wenn man für z x einsetzt), wie Stormi geschrieben hat. ist allerdings von der aufgabenstellung irreführend mit variablen bezeichnet und c² durch e zu ersetzen ist mathematisch gesehen nicht wirklich klug..

/edit: und übrigens ist aufgabenteil c) von M_O_C auf falsch. der anstieg der geraden auf der a und b liegt ist 0 und der schnittpunkt mit der y-achse liegt ebenfalls bei 0 wenn man die mitte der strecke zwischen A und B in den koordinatenursprung verschiebt. eine lösung für alle punkte die innerhalb der strecke zwischen A und B diese strecke schneiden sind mit einer berechnung aller nullstellen zu ermitteln. in der aufgabenstellung ist der tipp mit der fallunterscheidung gegeben: wenn lambda=0, dann ist z(lambda)=a, wenn lambda=1, dann ist z(lambda)=b - das müssten die beiden fälle sein, denn damit bewegt sich das lambda im intervall von 0 bis 1. ich würde jetzt für die stellen a und b die nullstellen bestimmen und überlegen, was mit zwischen a und b passiert. ich denke das ist die lösung für c).

Dieser Beitrag wurde von yocheckit: 04 Jan 2006, 22:47 bearbeitet

@YoCheckIt: Der Anstieg ist nicht gleich null da ich nicht wie die anderen von a und b € R sondern € C ausgegangen. ein zwei aufgaben drüber wurde auch schon a und b eingeführt halt als € C und da das eigentlich alles aufeinander aufbaut; sollte man vorher definierte Variablen nochmals benutzen, gelten, zumindest bei uns, immer die Definitionen von vorher.

das mit dem ob da nun e oder e² da steht ist eigentlich vollkommen egal, da man das halt definieren kann wie man will, aber ich glaub e ist richtig, da abs(z)=sqrt(x²+y²) für z€C. Wenn ich jetzt abs(z1)*abs(z2) hab erhalte ich sqrt(x1²+y1²)*sqrt(x2²+y2²) welches nach einer zwei Dimensionalen Gleichung aussieht. von daher beide seiten Quadrieren und wir erhalten die gegebene Gleichung in den nachschlagewerken (bei Verschiebung auf Nulllage). Daher bin ich am Anfang auch auf Sqrt(|a|*|b|) gekommen. was aber von der Dimension her nicht hinhaut. Also richtige lösung e=|a|*|b|.

/edit: Bin gerade noch auf die Möglichkeit der exponentialdarstellung gekommen, was die Sache, denk ich um einiges erleichtern könnte....
2 Kreise in Gaußebene, jeweils um a und b verschoben, das heißt wir nehmen ein festes r und lassen phi von 0 bis 2pi gehen und addieren für orthogonale geraden einfach pi/2 drauf... Ich glaub das sollt klappen..

Naja mal schauen... mmmh damn, warum diese verdammte Prüfungsvorbereitung immer sein muß....

Have a nice night/day

Dieser Beitrag wurde von M_O_C: 05 Jan 2006, 01:25 bearbeitet

ich weiß nicht was bei dir der |a| und |b| sein soll, aber wenn du damit keine strecken, sondern die stellen a und b auf der geraden g meinst, dann ist es mathematisch falsch, denn es muss das produkt der jeweiligen differenz zwischen einer der beiden stellen und dem mittelpunkt sein! e = |a| * |b| wäre nur dann richtig, wenn |a| = |b| und damit der mittelpunkt bei x = 0 liegen würde, was er aber nicht zwingend muss. die exakte lösung wurde von Stormi und mir bereits angegeben - glaub uns einfach..
e kann man zwar definieren wie man gerade lust und laune hat, ist aber in der aufgabenstellung nicht sehr zweckmäßig, weil es eine andere dimension als a, b und z hat. würde man diesen drei variablen die einheit meter verpassen, dann müsste e die einheit quadratmeter besitzen, was es laut aufgabenstellung dann auch tut, nur wäre es sinnvoller die variable gleich als e² zu definieren, um bei einer rechnung mit einheiten die korrekte dimension beizubehalten.. das war's was ich mit meiner herleitung zeigen wollte.

beim rest weiß ich leider überhaupt nicht was du meinst..

@nettes Wesen: sorry, jetzt ist hier alles durcheinander.. ich hab mir aber die aufgaben nicht komplett angeschaut, sondern nur die teilaufgaben 5 b) und d), deshalb würde es wahrscheinlich nicht viel bringen wenn ich bei dir vorbeikomme.. zumal du echt versuchen musst da selbst darauf zu kommen. wir könnten dir die lösung zeigen, das wär wie in jeder matheübung, aber um es wirklich zu verstehen, musst du das für dich selbst herleiten können.

Also ich wollte schon immer mal willigen Bauings "Nachhilfe" geben
Ich nehm auch die Reitpeitsche mit und prügel euch den Stoff ordentlich ins Hirn

na das ist doch mal eine einstellung stormi ich hab mal versucht die erste aufgabe von dir zu verstehen und eigentlich hat dies auch gut geklappt, aber da hab ich nochmal ne frage...und zwar hast du geschrieben: "Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji." tja wo hast du denn das b gelassen? das kann man doch eigentlich nicht weglassen..da müsste doch stehen wenn man t*b gleich j setzt t*a + t*bi = d + ij, dann würde es stimmen, oder?

klar muss ich das selber rausbekommen, aber wenn du in den matheübungen das ni richtig erklärt bekommst und dazu die übungsaufgaben teilweise richtig leicht und sinnlos oder total verzwickt und durcheinander sind, aber dann einen für die verhältnisse schwierigen beleg bekommst, sitzt man schon da und ist verzweifelt.....ich weiß ja nicht einmal was eine cassinische kurve ist....hab zwar im hefter geguckt, aber steht ni drin.....also werd ich morgen mal in die slub rennen und mir nen dicken mathewälzer ausleihen...ich weiß ja nicht in welchem semester du bist und was du studierst, aber die semestler aus meinem kurs, die ich wegen dem beleg gefragt habe, waren alle ratlos...eigentlich kann das ja ni sein...