Ich kann nirgendwo etwas dazu finden, deswegen frage ich mal hier:

Ich soll den Spektralradius einer Matrix bestimmen, welcher ja der betragsmäßig größte Eigenwert ist.

Jetzt erhalte ich neben der ersten Lösung (dem ersten EW) 0 noch die Gleichung L²=-5/4, welche ja nur 2 imaginäre Lösungen hat.

Wenn man davon den Betrag bildet erhält man sqrt(5/4) für beide Lösungen. Gilt der Wert jetzt, oder gelten die imaginären Werte nicht als Eigenwert?

Dieser Beitrag wurde von schildkroet: 14 Jan 2008, 18:37 bearbeitet

Okay, also dann werde ich das mal so vorrechnen. Der Eigenwert ist ja der Streckungsfaktor zu einem Eigenvektor, deshalb kam es mir komisch vor. Ich kann mir eine imaginäre Streckung nicht wirklich vorstellen

Eigentlich ging es um die Konvergenz vom Jacobi-Verfahren. Das konvergiert als in jedem Fall (da der Spektralradius in beiden Fällen kleiner 1 ist). Hätte der Spektralradius von 0 denn eine besondere Bedeutung? Der SR drückt schliesslich aus, wie schnell das Verfahren gegen die Lösung konvergiert. Hat man bei einem SR von 0 dann sofort nach einem Schritt die Lösung?

Numerik ist schon lange her. Hier mal mein Erklärungsversuch:

Bei der Konvergenz brauchst Du den Betrag, weil Du im Endeffekt für eine Matrix M einen Grenzwert für f(M^k) (k hinreichend groß) approximieren willst. Imaginäre Eigenwerte haben einen reellen Betrag. Ist der kleiner als 1, dann kannst Du getrost davon ausgehen, dass M^k ->0 für k->00.

Ein EW 0 heißt, dass bei der Matrix-Vektor-Multiplikation Mx eine Dimension im Bild komplett wegfällt. MMx verliert aber keine Dimension mehr. Willst Du Gleichungssysteme Mx=y nach x auflösen, muss demnach y in den Bildraum projiziert werden (siehe More-Prenrose), damit überhaupt eine Lösung ausgerechnet werden kann. Die ist dann auch nur eine Kleinste-Quadrate-Apprximation im Bildraum an die rechte Seite.

Ein Spektralradius von 0 sagt aus, dass Du einen Rang von 0 hast, damit praktisch eine Nullmatrix. Für die Lösung brauchst Du dann Null schritte, weil Dein System dann trivial wird.

Im Allgemeinen ist jedoch der Spektralradius von den Spektralwerten abhängig, die nur bei Symmetrischen Matrizen den Eigenwerten entsprechen.