[suche] Produktregel

ich hab hier ein kleines (für mich großes) mathematisches problem, und zwar habe ich eine gleichung der form: d²t/dr²+1/r*dt/dr+b=0

b ist eine konstante. ich möchte die gleichung zwei mal integrieren um eine funktion t=t( r ) zu bekommen. substitution von d²t/dr² führt nicht zum ziel, da ich anschließend die variablen nicht trennen kann. also gibt es da eine produktregel, die das ganze in 1/r*d/dr*(r*dt/dr)+b=0 umwandelt, nur leider kann ich den schritt nicht nachvollziehen..

kann mir irgendjemand helfen?

ihr wisst aber auch nix!

Gibt's denn hier keine mathematiker?

is doch diese Form: y''+1/x*y'+b=0

kann man substituieren mit sowas: y'=z

dann integrieren, rücksubstituieren und nochmal integrieren

Ich hab mal einen Experten gefragt, der kam zu folgenedem Ergebnis: t® = -0,25*b*r² + C*ln(|r|) + D


Der Lösungsweg kann nachgereicht werden.

Dieser Beitrag wurde von Zappelfry: 23 Apr 2008, 13:20 bearbeitet

jo, das ergebnis ist richtig. der experte ist schon mal gut! ich versteh nur die produktregel nicht, die man hier angeblich anwenden muss. der lösungsweg wäre also schon wichtig.

@Euro: substitution geht hier nicht, da man 0=dz/dr+z/r+b erhält und anschließend zur integration die variablen trennen muss, was durch das auftreten der konstante b in der gleichung jedoch nicht gelingt.

so, der meister hat es selbst gerichtet, allerdings versteh ich die oben erwähnte produktregel nach wie vor nicht, wäre also immer noch am rechenweg interessiert.

meine lösung ist die folgende: 0=d²t/dr²+1/r*dt/dr+b anders geschrieben als: 0=(ddt)/(drdr)+1/r*dt/dr+b und jetzt kommt es darauf an geschickt auszuklammern, nämlich: 0=1/r*dt/dr*(1+r*d/dr)+b=1/r*dt/dr*(1+dr/dr)+b=2/r*dt/dr+b.

somit erhält man eine differentialgleichung 1. ordnung, die mir nach integration und bestimmung der integrationskonstanten die lösung t=-1/4*b*(r0²-r²)+tmax liefert. damit kommt man auf die gleiche lösung von Zappelfrys experten, wenn man als randbedingungen t(r=r0)=tmax und {(dt/dr) bei r=0}=0 setzt, da dann bei dieser lösung C=0 und D=1/4*b*r0² ist.

Chris (06:54 PM) :
also in Kurzform bin ich folgendermaßen vorgegangen:
anstelle von t® habe ich y(x) benutzt. das ist gewöhnlicher und daher etwas schöner

Dann habe ich
(1) g := y' substituiert
(2) die homogene DGL g' + g/x = 0 durch Trennen der Variablen gelöst (Lösung: C/x)
(3) eine partikuläre Lösung von g'+g/x = -b durch Variation der Konstanten ermittelt (bei mir: -0,5*b*x)
(4) Die so erhaltene Lösung dann noch integriert, voila

das ist ja noch eine andere lösung - aber sehr interessant. wieder was dazugelernt!

Ich hab da auch ein kleines Problem. Bestimmt ist die Lösung ziemlich offensichtlich, aber irgendwie seh ich sie trotzdem nicht:

Gesucht ist das Integral von (ln x) / (x^3)
Ich hab ein bisschen rumgerechnet, umgeformt... und komme auf (ln x) / (e^(3*ln x)) mal dx. Anschliessend substituiere ich mit t = ln x.
Daraus folgt dx = dt*x und anschliessend t*(e^(-3t)) * dt*x. Und jetzt weiß ich nicht weiter

Das Ergebnis lautet -(ln x / 2x²) - 0.25x² + C

Trotz Ergebnis hab ich keinen Schimmer.
Wäre nett,wenn mir jemand mal einen Rat geben könnte

Dieser Beitrag wurde von _joschi_: 06 Jul 2008, 14:28 bearbeitet

musst du das wirklich rechnen, oder genügt es, wenn du das ergebnis weisst?

ich gehe mal davon aus, dass du für eine Klausur übst. Evtl. darfst du in die Klausur gewisse Hilfsmittel mitnehmen.

Kleiner Tipp von mir: Merziger: Formeln + Hilfen

S. 109 Integral Nr. 258

da sparst du dir ne menge zeit mit!

du kannst natürlich auch partielle integration machen:

INT u´(x) v(x) dx = u(x) v(x) - INT u(x) v´(x) dx

wenn du u´(x) = x^(-3) und dann u(x) = -1/2 x^(-2)

und v(x) = ln x und v´(x) = 1/x in die Formel einsetzt kommst du auch auf das Ergebnis. Dauert ein bischen länger, aber funktioniert.

Du hast im Übrigen einen kleinen Fehler in deinem Ergebnis:

Es muss heißen: -(ln x / 2 x^2) - (1/ (4x^2)) +C

kann aber auch sein, dass du das so meintest :-)

MfG

Dieser Beitrag wurde von Bash: 06 Jul 2008, 17:14 bearbeitet

Ja, ist die Mathe II PV.
Wir dürfen keinerlei Hilfsmittel verwenden, ausser 3 handgeschriebene Blätter mit Notizen. Keinen Rechner, keine Formelsammlung. Insofern ist das schon ziemlich hart, sowas bei der Klausur im Kopf zu rechnen.

Aber danke für den Tipp mit dem Merziger. Hab hier 2 dicke Mathewälzer liegen, aber aufs Tafelwerk bin ich nicht gekommen. Die Integrale kommen mit aufs Blatt in die Klausur

Thx.

dann würd ich mir lieber die Formel für die partielle Integration aufschreiben, damit kommst du meistens ans ziel. hat ja auch keinen sinn 3 seiten unbestimmte integrale mit in die klausur zu nehmen :-)