Hallo, ich studiere Bauingenieurwesen im ersten Semester und habe ein Problem mit meinem Mathebeleg. Der muss am 13.1.06 fertig sein und meine Mitstudenten und ich sind ziemlich ratlos. Also jeder der Mathe als Bauingenieurstudent oder Mathestudent gut kann, den bitte ich um Hilfe.

Ich bedanke mich jetzt schon für jeden Beitrag.

was müsst ihr denn machen? paar informationen darüber wären vielleicht ganz hilfreich..

genau, mein erstes semester bauing is schon ne weile her...

also ich kann ja mal den Beleg dranhängen.....er ist über komlpexe Zahlen und Funktionen.
Ich und meine Leute müssen die Nummer 1 und 5 machen.
Jetzt seid aber ni total entsetzt...wir brauchen echt Hilfe

Hab mir das gerade mal angeschaut und die 1. Aufgabe ist eigentlich ganz gut machbar.

Also mit r*exp(i*phi) beschreibt man ja eine komplexe Zahl und diese Zahl ist in Gaußchen Zahlenebene ein Zeiger auf eine Zahl mit einem gewissen abstand vom nullpunkt dem Radius r und einer gewissen Phase (mmh gerade keine Ahnung ob das in Mathe auch phase hieß, naja so'n bißchen et halt mit im Spiel). Diese Phase ist eigentlich nur der Winkel zwischen diesem Zeiger auf den Punkt und der reelen Achse. Das ist absolut vergleichbar mit der Vektorrechnung aus der Schule. Also dort rein gucken hilft auf jeden Fall. Wenn man jetzt diesen Zeiger mit einer Reelen Zahl multipliziert vergrößert man sozusagen den Radius um das , in unserem Fall, t-fache. Wenn unser t jetzt variabel und unser a fest ist erhalten wir eine Gerade die den Anstieg(Phase) des a hat und durch den Nullpunkt geht.

So zu b.: Wie in der Schule gelernt spiegelt man jetzt einen Punkt einfach nur an einer Geraden. Da gibbet ja genug möglichkeiten (lot vom punkt auf die geraden fällen->im Lot weitergehen und sozusagen auf der anderen Seite der Geraden im selben Abstand den Spiegelpunkt markieren, oder halt mit den x und y koordinaten rechnen). Es kommt darauf an das ihr euch diese Zahlenebene vorstellen könnt. Wie gesagt ist einfach nur was 2-dimensionales)

zu c.: dort verschiebe ich den Anfangspunkt dieser geraden eigentlich nur irgendwo anders hin. Ansonsten alles beim alten.

zu d: WErte halt einsetzen.

Ich schau mir mal noch die 5 an. Ich hoffe das hilft so für den Anfang erstmal...

Aufgabe 5 kann ich mir jetzt auch vorstellen aber ich versuch das mal in ne ordentliche Erklärung umzubasteln...

Dieser Beitrag wurde von M_O_C: 02 Jan 2006, 22:22 bearbeitet

Also um die Aufgaben verstehen zu können solltet ihr euch zuerst mit den komplexen Zahlen beschäftigen und danach erst die (wie immer ziemlich zwangaft aus dem Boden gestampften und mit null Praxisbezug versehenen, trotzdem jedoch lehrreichen) Aufgaben lösen. Zudem solltet ihr euch mit Geometrie der 11. Klasse (Vor allem Trigonometrie/Winkelfunktionen) und mit Funktionen, genauer mit deren graphischen Darstellung und mit den Zusammenhängen zwischen graphischer Darstellung und Eigenschaften einer Funktion beschäftigen.

Kleiner Abriss von mir:

Bemerkung: Ja liebe Freakshow aus der 1. Reihe der Mathevorlesung, das Zeug weiter unten ist nicht exakt, stimmt stellenweise nicht, ist aber gut genug, ums weniger Mathegegeisterten zu erklären, also Klappe zu und Reiskekse kaufen gehn ihr verdammten Nerds.
Also:
Der Körper der komplexen Zahlen ist eine Menge, deren Elemente zweikomponentige Zahlen der Form a+bi sind. Dabei sind a und b beliebige reelle Zahlen (also aus R bzw. alles, was man so als Zahlen kennt z.B. 1, -10, 0, 1,234545 usw.). Die komplexen Zahlen sind mathematisch gesehn eine Erweiterung der reellen Zahlen. Diese ist notwendig, weil:
Die Menge aller Zahlen kann man graphisch mit einem Zahlenstrahl darstellen. Das ist eine Gerade von links nach rechts. Eine Gerade besteht wie man wissen sollte aus unendlich vielen Punkten und jeder Punkt des Zahlenstrahls bekommt genau eine Zahl zugewiesen. Der ganze Zahlenstrahl stellt die Menge der Reellen Zahlen R dar. Doch wo liegt auf dem Zahlenstrahl die Lösung für die Gleichung "Wurzel aus -1" ? Nach den Regeln und Gesetzen der reellen Zahlen (ja das sind die Körperaxiome von R liebe Geeks) kann man die Gleichung y=sqrt(-1) nicht lösen. (sqrt=Square root = Wurzel) nicht lösen. Es ist eine Erweiterung nötig, jedoch ist auf dem Zahlenstrahl kein Platz mehr, denn jeder Punkt hat ja bereits eindeutig eine Zahl zugeordnet bekommen. Deshalb fügt man einer Zahl noch eine Zweite Komponente hinzu und plazieren die Zahlen über den Punkten des Strahls, was ihn zu einem 2 Dimensionalen Gebilde macht. Man definiert sqrt(-1) = i (die imaginäre Einheit) und bastelt sich aus R einen neuen Körper (eine Menge) genannt C, die Menge (der Körper) der komplexen Zahlen, mit oben beschriebenen Elementen. Die Rechenregeln stehen in jedem Tafelwerk.
Jetzt fragt man sich natürlich, wie stellt man eine solche Zahl mit komplexer Komponente (z.B. 2+3i) graphisch dar? Da mir hier die zeichnerischen Mittel fehlen verweise ich auf euer Tafelwerk und erkläre: Wie oben beschrieben befinden sich die komplexen Zahlen graphisch gesehn über (bzw. unter) den reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Zieht man jetzt eine senkrechte Linie durch den mit 0 gekennzeichneten Punkt des Zahlenstrahls, hat man ein 2 dimensionales Koordinatensystem, dessen X Achse der Zahlenstrahl ist und auf dessen Y Achse die komlexen Komponenten abgetragen werden (fängt also bei 0i an und geht weiter 1i, 2i, 3i...). Nun kann man die komplexen Zahlen abtragen, so wie man früher die Graphen linearer Funktionen gezeichnet hat. Man geht für die Zahl a+bi um a Einheiten nach rechts (bzw. links, wenn a negativ ist) auf der x Achse und um b Einheiten nach oben (bzw. unten) und hat den Punkt der Zahl.
Warum ist das so wichtig? Es ist wichtig, weil man so auf die anderen Darstellungen der komplexen Zahlen kommt. Zeichnet man eine Verbindungslinie vom Punkt (0,0) (der Koordinatenursprung) bis zum Punkt der komplexen Zahl, dann erhält man eine Strecke r und einen Winkel Alpha zwischen x Achse und r. Die komplexe Zahl sei z. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Trigonometrie erhält man:

r = sqrt(a²+b²) (Wenn man a und b als die Katheten und r als die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (a,b) (das ist z) und (a,0) (das ist der Punkt auf der x Achse, direkt unter dem Punkt z, quasi der reelle Anteil der Zahl))
und
alpha = arccos(a/r) = arcsin(b/r) = arctan(b/a) (siehe Tafelwerk, rechtwinkliges Dreieck)

r nennt man den Betrag der komplexen Zahl z und den Winkel Alpha (meistens auch Phi genannt) nennt man das Argument der Zahl z. Damit erhält man mit allerlei schwarzer Magie zwei andere Formen der Komplexen Zahl z=a+bi (Normalform), nämlich die
Polarform: z=r(cos alpha + i*sin alpha) und die
Exponentialform (das ist die in der Aufgabe): z=r*e^(i*alpha) (e..die eulersche Zahl und ^ heißt "hoch", siehe Tafelwerk für e).

Die Formen lassen sich (wie man hoffentlich sieht) ineinander umwandeln (zumindest, wenn man von der Normalform ausgeht, von der Polarform kann kann man nicht eindeutig auf eine Normalform schließen).

Soviel zu den komplexen Zahlen.
Kleiner Abriss zum Zusammenhang zwischen linearer Funktion und deren graphischer Darstellung:
Eine lineare Funktion sieht so aus: y=mx+n
Dabei ist m der sog. Ansteig der Funktion und n ist das Absolutglied. Der Graph einer linearen Funktion ist eine gerade Linie (dafür hätte mich mein Mathelehrer augenblicklich getötet), die u.a. 2 markante Eigenschaften hat:
1. Sie schneidet die y Achse immer im Punkt (0,n), d.h., dass falls n 0 ist und die Funktion z.B. y=mx ist, so verläuft sie durch den Punkt (0,0), den Koordinatenursprung. Eine Veränderung von n bewirkte eine parallele Verschiebung des Graphen der Funktion auf der y Achse. In der 1. Aufgabe ist n z.B. 0 und die Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung.

2. Aus m kann man einen Winkel Alpha berechnen, der der Anstiegswinkel der Geraden ist (siehe Tafelwerk). Eine Veränderung von m bewirkt, dass die Gerade steiler oder flacher verläuft.

Ab hier besteht Mumpitzgefahr, aber ich habs mal aufgezeichnet und es müsste soweit stimmen, es sei denn, der Ansatz ist falsch:
So, also Ansatz für die erste Aufgabe: z(t)=t*a, sieht wie eine lineare Funktion aus. a = tau*e^(i*phi),
die Exponentialform einer komplexen Zahl. Vergisst man mal, dass a eine komplexe Zahl ist und merkt sich statt dessen, dass a fest ist (d.h. es verändert sich nicht), so erkennt man, dass es sich um eine lineare Funktion durch den Koordinatenursprung handelt. Es ist jetzt schwer zu erklären, dass der Winkel alpha zwischen x Achse und Graphen konstant bleibt, egal wie groß t ist. Die Funktion lautet ja z(t)=t*a.
a ist eine komplexe Zahl der Form a+bi, also z(t)=t*(a+bi)=t*a+t*bi. Das Argument (der Winkel) dieser Zahl bleibt Konstant, denn: Wir ersetzen zunächst t*a mit d und t mit ji und erhalten: t*a+t*bi = d+ji.
Und damit: alpha = arctan(j/d). Wegen j=t und d=t*a erhalten wir alpha=arctan(t/t*a). Man kürzt t/t*a mit t und erhält alpha=(1/a), der Winkel ist also nicht von t abhängig. Das heißt, dass der Winkel zwischen dem Graphen g und der x Achse konstant bleibt und zwar ist er das Argument von a. Weil a=tau*e^(i*phi), ist das Argument gleich phi (siehe Darstellungen der komplexen Zahlen). Nun stellt ihr euch einen Punkt unterhalb des Graphen g vor und bezeichnet ihn als w. Die Verbindungslinie vom Koordinatenursprung (0,0) zum Punkt w ist genau der Betrag der komplexen Zahl w. Den Winkel zwischen dem Graphen g und der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt w bezeichnen wir als Beta. Da w gespiegelt werden muss, wissen wir, dass der Punkt ws über dem Graphen g liegen muss und der Winkel zwischen der Verbindungslinie von (0,0) zum Punkt ws und dem Graphen g gleich dem Winkel Beta sein muss und die Verbindungslinie muss genauso lang sein, wie der Betrag von w. Wir haben also:

phi = Winkel zw. g und x Achse.
w = rho*e^(i*psi), laut Aufgabe, siehe griechisches Alphabet) und damit:
Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt w = Länge der Strecke von (0,0) zum Punkt ws = Betrag der Zahl w = rho und Winkel zwischen X Achse und obiger Strecke = psi.
beta = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach w = Winkel zwischen Graph g und Strecke (0,0) nach ws.
Das sollte man vielleicht mal aufzeichnen zum besseren Verständnis.
Man weiß also: ws=rho*e(i*tau), wobei tau der Winkel zwischen der Strecke von (0,0) nach ws und der x Achse ist. Dieser Winkel ist gesucht, um die Zahl ws auszudrücken. Sieht man mal auf die Zeichnung stellt man fest:

phi = psi+beta -> beta = phi - psi
und
tau = phi + beta = 2phi - psi

Und man erhält: ws = rho*e^(i*(2phi-psi))

Alles klar? War doch einfach oder?
Bei d muss man entsprechend einsetzen und ausrechnen, c funktioniert analog zu b, mit dem Unterschied, dass z0 dazu kommt, was den Graphen auf der y Achse verschieben müsste.

Es ist anzuraten, dass ihr meinen Mist nicht einfach übernehmt, sondern versucht ihn zu verstehen. Er könnte nämlich auch falsch sein, da ich bis auf meine graphische Überprüfung anhand eines Beispiels keinen Beweis habe, dass es richtig sein könnte.

Dieser Beitrag wurde von Stormi: 03 Jan 2006, 01:26 bearbeitet

stormi.. ich mag dich
sorry fuers OT .. aber ich konnts mir nciht verkneifen

Pssst merry, wenn das der Hagen hört

Hm die 5. Aufgabe ist recht tricky. Sie ist btw. (wie auch die andern Aufgaben) ziemlich schlampig gestellt.
Wir definieren also mal:
z Element C, ist also eine komplexe Zahl.
a und b Element R, also zwei reelle Zahlen, genau wie e (wie ein Doktor der Mathematik auf die Idee kommen kann, eine Unbekannte in einer Aufgabe "e" zu nennen, ist mir echt schleierhaft).

Ich habe lange über die Aufgabe nachgedacht und keine befriedigende Lösung gefunden, jedoch ein paar gute Ansätze:

Da a und b reell sind, haben sie keine komplexe Komponente und werden so auf der x Achse eines 2 dimensionalen Koordinatensystems abgetragen, als die Punkte A(a,0) und B(b,0). Die Gerade g durch die beiden Punkte ist logischerweise die X Achse, bzw. y=0. Eine cassinische Kurve ist im Prinzip ein kreisförmiges/eliptisches Gebilde um zwei Punkte (das sind hier A und B) herum, mit der Eigenschaft, dass der Abstand von A zu einem Punkt Z auf der Elipse multipliziert mit dem Abstand des Punktes B zu Z einen Wert ergibt, der immer konstant bleibt. Das heißt also, dass die Strecke AZ multipliziert mit BZ gleich einer konstanten reellen Zahl ist, das ist hier e.

a) Man kann aus der Tatsache, dass g die X Achse ist schlussfolgern, dass die gesuchten Punkte die selben X Koordinaten haben, wie A oder B, denn sie liegen auf den senkrecht zur X Achse verlaufenden Geraden x1=a und x2=b. Diese Gerade schneiden die Cassinikurve in genau zwei Punkten direkt über bzw. unter A bzw. B.
Zeichnet man sich das ganze auf erkennt man: Die Zahlen z sind wie gesagt komplex und man könnte sie in Normalform darstellen. Die Normalform müsste Betrag(a) + Betrag(z-a)*i lauten. Keine Ahnung, ob das richtig ist, war ein Gedanke von mir.

b) Extrem schlampige Aufgabe, was ist denn der Mittelpunkt von a und b ? Ist aber relativ einfach. Wir haben: e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b)=konstant. Wir wissen, dass die Kurve k einen Punkt besitzt, der diese Gleichung erfüllt und gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke AB ist. Da e immer konstant bleibt, reicht es, wenn wir es für diesen Spezialfall ermitteln. Nochmal: e = Strecke AZ multipliziert mit BZ. Da Z der Mittelpunkt der Strecke AB ist, ist AZ gleichlang wie BZ und damit e =Betrag(z-a)^2.
Bzw. kann man auch folgendes sagen: Man definiert eine positive reelle Zahl m, die den Abstand zwischen A bzw B und dem Mittelpunkt der Strecke AB ausdrückt. (AB hat also die Länge 2m). e ist dann gleich m^2, da ja e=Strecke AZ multipliziert mit BZ=m*m=m^2.

c) Keinen Schimmer. Ich weiß nur. dass die Punkte auf der x Achse liegen und eben genau deren Schnittpunkte mit der Kurve K sind. Evtl. liegt hier der Ansatz.

d) Siehe dazu Wikipedia. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie man die kartesische Darstellung herleitet und daraus die Polarform. Im Prinzip sollte der Ansatz so sein: e=m^2 (wie oben) und e = Betrag(z-a)*Betrag(z-b). Wenn man a=a+0i, b=b+0i,z=c+di im Hinterkopf behält, sollte es evtl. gelingen, die Formel aus Wikipedia herzuleiten, irgendwo hab ich da aber wohl einen Denkfehler. Daran scheitert also auch der Äquivalenzbeweis.

Es wäre nett, wenn jemand das Ding mit der Lemniskate erklären könnte (Geometrie habe ich in meinem Studium z.B. gar nicht, evtl. hab ich da was übersehen), weil mich das doch sehr interessiert.

Ich hoffe, dass wenigstens ein Teil des Geschriebenen stimmt, solche Aufgaben sind echt nicht mein Steckenpferd

der stormi wieder - herrlich

eine lemniskate wäre zum beispiel die 8 oder das unendlich-zeichen. über den rest grübel ich mal schnell nach..

update1: c) könnte was mit Lagrange zu tun haben..
d) scheint mir erst mal einfach. ich versuch das mal schnell auf'm blatt papier..

update2:


Dieser Beitrag wurde von yocheckit: 03 Jan 2006, 21:25 bearbeitet

also ihr lieben......das ist ja schon ganz schön, aber ich bräuchte jemanden der sich mit uns trifft und uns das dann erklären kann...ich nehme auch alle die wollen
aber das jetzt aus dem geschriebenen sofort herauszunehmen ist etwas schwierig (wie ein Mathebuch *lol*)

also wer will der darf!!!
und danke für die schönen langen antworten

ach ja, das a²=strecke(PF1)*strecke(PF2) entspricht nicht dem a aus der gleichung, welches im betrag steht. das hab ich vergessen hinzuzufügen. stell dir das a² was ich dann weitherhin benutzt hab einfach als j² oder so vor.

Danke checkit, auf die Idee einfach mal in die cassinischen Fkt. einzusetzen bin ich nicht gekommen, da ich eigentlich darüber gebrütet habe, wie man auf die cassinische Fkt. kommt. Ok, danke dir, manche Dinge sollte man nicht wissen

@Threadstarter, ihr solltet euch angewöhnen solcherlei Lektüre lesen und verstehen zu können, zugegeben ohne graphische Darstellung ist das etwas schwierig, aber der Text ist imho sehr viel verständlicher, als so manches Mathebuch/-script. Am Anfang ist das immer schwer, man sollte genau lesen und das mehrmals. Es gibt nicht wenige Passagen in meiner Mathe VL, die habe ich 10 oder 20 mal gelesen, nur um zu verstehen, dass es um Mathe geht und nicht um abstrakte Kunst
Also nicht verzagen

da muss ich Stormi recht geben, in allen einigermaßen ausführlichen formelsammlungen steht jede lösung für ein mögliches klausurproblem drin, man muss es erstens nur erkennen (der schwierigste teil) und dann die lösung in der formelsammlung auch lesen können.

ich hab's so versucht zu lernen, dass ich die hefter weggelegt hab und mal versucht hab die komischen zeichen in der formelsammlung zu übersetzen.. ist krass, dass die mathematiker durch 10 zeichen einen ganzen text mit mindestens 20 wörtern ersetzen und von einen otto-normal-studenten dann auch noch verlangen das zu verstehen..

aber wenn man's tut, ist mathe kein problem mehr - steht doch alles im buch!